什么是 $\mathbf{KMP}$
$KMP$ 算法是一种改进的字符串匹配算法，由$D.E.$ K $nuth$，$J.H.$ M $orris$和$V.R.$ P $ratt$提出的，因此人们称它为克努特—莫里斯—普拉特操作（简称 $KMP$ 算法）。 $KMP$ 算法的关键是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是实现一个 $next()$ 函数，函数本身包含了模式串的局部匹配信息。时间复杂度 $\Theta(m+n)$ 。
（From 百度百科）
$\mathbf{KMP}$ 算法的思想
首先我们考虑朴素的字符串匹配。通过两个指针分别指向文本串和模式串，如果失配，那么文本串指针会指向开始匹配的下一位，而模式串的指针则会指向串首。如下图：
但是我们可以发现，我们在第一次失配前已经知道文本串的前 $5$ 个字符，那么我们就可以找到一种更优的失配转移，如下图：
我们可以发现，我们可以找到模式串下标为 $n$ 时失配的更优失配转移，当且仅当模式串下标为 $[0,n]$ 的子串中的前缀等于后缀，如下图：
显然，子串中最长前缀等于最长后缀时，可以找到最优失配转移。由此得到 $KMP$ 算法的思路：预处理模式串，得到失配数组（ $fail$ 数组），再进行匹配。
如何预处理出 $\mathbf{fail}$ 数组
从上文可以看出，我们需要找到最长的前缀等于后缀。建立数组 $fail[]$ 储存失配后2指针应跳转的位置。不难想到， $fail[0]=fail[1]=0$ 因为这两个位置失配后必须回到字符串起点。接下来我们可以不停的对当前失配的位置回跳 $fail$ 指针，直到匹配或跳到字符串首。代码如下：1
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15void get_fail(char s[])
{
fail[0]=0;
fail[1]=0;
for(register int i=1;i<strlen(s);++i)
{
int t=fail[i];
while(t&&s[t]!=s[i]) t=fail[t];
if(s[t]==s[i]) fail[i+1]=t+1;
else fail[i+1]=0;
}
return;
}
同理，我们在 $kmp$ 的时候对两个字符串进行这样的操作。对比来看， $get\text{_}fail$ 操作其实就是模式串和文本串都是模式串的 $kmp$ 。代码如下：1
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18void kmp(char s[],char t[])
{
int now=0,len=strlen(t);
get_fail(t);
for(register int i=0;i<strlen(s);++i)
{
while(now&&s[i]!=t[now]) now=fail[now];
if(s[i]==t[now]) now++;
if(now==len)
{
printf("%d\n",i-len+1);
now=fail[now];
}
}
return;
}
结语
$KMP$ 算法具有一种“最优历史处理”的性质，而这种性质也是基于 $KMP$ 的核心思想的。考虑前缀与后缀的关系使得其在匹配的时候不会反反复复地找。最后放上模板和 $std$ : P3375 【模板】KMP字符串匹配1
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54// luogu-judger-enable-o2
#include <cstdio>
#include <string>
#include <iostream>
using namespace std;
string a,b;
int fail[1000005];
void get_fail(string s)
{
fail[0]=0;
fail[1]=0;
for(unsigned int i=1;i<s.length();i++)
{
int t=fail[i];
while(t&&s.at(t)!=s.at(i)) t=fail[t];
if(s.at(t)==s.at(i)) fail[i+1]=t+1;
else fail[i+1]=0;
}
return;
}
void kmp(string s1,string s2)
{
unsigned int now=0;
get_fail(s2);
for(unsigned int i=0;i<s1.length();i++)
{
while(now&&s1.at(i)!=s2.at(now)) now=fail[now];
if(s1.at(i)==s2.at(now)) now++;
if(now==s2.length())
{
printf("%d\n",i-s2.length()+1);
now=fail[now];
}
}
return;
}
int main()
{
cin>>a>>b;
a=" "+a;
kmp(a,b);
for(unsigned int i=1;i<=b.length();i++) printf("%d ",fail[i]);
return 0;
}